Ekim 19, 2021
11 11 11 ÖÖ
TCP nedir ? Aktarım Katmanı 2
Aktarım Katmanı Tcp Nedir
Yönlendirme Nedir 2 ?
Yönlendirme Nedir ?
Ağ Katmanı Nedir 2 ?
Ağ Katmanı Nedir ?
Veri Bağı Katmanı Nedir 2 ?
Android Studio Nasıl Kurulur ?
Veri Bağı Katmanı Nedir ?
Fiziksel Katman Nedir ?
Son Yazılar
TCP nedir ? Aktarım Katmanı 2 Aktarım Katmanı Tcp Nedir Yönlendirme Nedir 2 ? Yönlendirme Nedir ? Ağ Katmanı Nedir 2 ? Ağ Katmanı Nedir ? Veri Bağı Katmanı Nedir 2 ? Android Studio Nasıl Kurulur ? Veri Bağı Katmanı Nedir ? Fiziksel Katman Nedir ?
Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

Paylaşım , Takip İçin

Çarpım Kuralı

Çarpım kuralını uygularken birinci elemanı 𝐴 kümesinden, ikinci elemanı 𝐵 kümesinden alınarak
oluşturulan ikililerin toplam sayısı: 𝐴 × 𝐵 dir.

ör. Yemek kümesi 𝐴 = 𝑘𝑜𝑓𝑡𝑒, 𝑑𝑜𝑛𝑒𝑟, 𝑝𝑖𝑑𝑒, 𝑙𝑎ℎ𝑚𝑎𝑐𝑢𝑛 ,
İçecek kümesi 𝐵 = 𝑘𝑜𝑙𝑎, 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎, 𝑎𝑦𝑟𝑎𝑛
olsun. Bir yemek ve bir içecekten oluşan menü kaç farklı şekilde seçilir?

Çözüm: Yemek ve içecekten oluşan ikililerin toplam sayısı: 𝐴 × 𝐵 = 4 × 3 = 12

Genelleştirirsek;

 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 𝑛 farklı küme olsun. Birinci elemanı 𝐴1’den, ikinci elemanı 𝐴2’den,…. alınarak oluşturulabilecek 𝑛 elemanlı dizilerin sayısı:

𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛

ör. Sivas’tan Kayseri’ye 2 ulaşım şekli vardır: otobüs, araba. Kayseri’den
Mersin’e 3 farklı ulaşım şekli vardır: tren, otobüs, araba. Mersin’den Kıbrıs’a
iki farklı ulaşım vardır: uçak, gemi. Buna göre Sivas’tan Kıbrıs’a kaç farklı
ulaşım vardır?

Çözüm. 2 × 3 × 2 = 12 farklı ulaşım şekli vardır.

Şartlı Olasılık ve Bağımsızlık


Bazen, yaptığımız deneyin sonuçları hakkında bir bilgiye sahipken bu deneyin
sonuçlarının olasılığını hesaplarız.
ör. İki zar atılıyor. Zarların toplamının 10 olması ile ilgileniyoruz.
Örnek uzay (olabilecek tüm sonuçlar):

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

Diyelim ki birinci zarın sonucunu biliyoruz: 4. Bu durumda örnek uzay yalnızca
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5) ve (4,6)’dan oluşur. Yani yalnızca 6 olası sonuç
vardır. Örnek uzayımız küçüldü, böylece olasılık arttı.

Biz zarlar toplamının 10 gelmesi ilgileniyorduk. İlk zar 4 iken, ancak ikinci zar 6
olma durumunda zarlar toplamı 10 olur: Su halde (şartlı) olasılık 1/6 dır.
Yalnızca (4,6) sağlıyor.

Şartlı Olasılık Formül
Bir önceki örnekte 𝐵 olayı zarların toplamının 10 gelmesi olayı, 𝐴 olayı ilk zarın
4 gelmesi olayı olsun.
𝐴 verilmişken 𝐵’nin şartlı olasılığı: 𝑃 𝐵|𝐴 =𝐴’nın içinde 𝐵’nin de olma olasılığı
Deneyin sonucu 𝐴’nın içinde olsun. Deneyin sonucunun 𝐵’nin de içinde olması
için sonucun hem 𝐴 hem de 𝐵’nin içinde yani 𝐴 ∩ 𝐵’nin içinde olması gerekir.
Deneyin sonucu 𝐴’nın içinde olduğundan 𝐴 bizim yeni örnek uzayımız olur. Şu
halde 𝐴 olmuşken 𝐵’nin olmasının olasılığı yani : 𝑃 𝐵|𝐴 :

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

Ayrıca içler dışlar çarpımıyla:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴) × 𝑃 𝐵|𝐴

Okunuşu: 𝐴 ve 𝐵 olaylarının birlikte olma olasılığı, 𝐴’nın olma olasılığı ile 𝐴
varken 𝐵’nin olma olasılığının çarpımlarına eşittir. Buna çarpım kuralı denir.

Sonuç olarak olasılık teorisinin iki çok önemli kuralı vardır:

1. Toplam Kuralı: 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
2. Çarpım Kuralı: 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨) × 𝑷 𝑩|𝑨

ör. Daha önce gördüğümüz örnekte, Amerika’daki çalışanlardan rastgele seçilen
birinin erkek olması ve 6 aylık gelirinin 30,000 dolardan az olması olasılığını
hesaplamıştık. Şimdi bunu şartlı olasılık kullanarak hesaplayalım.

Örnek

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

ABD’deki kişilerin cinsiyetlerine göre altı aylık kazanç miktarları tablosu.

𝐴 olayı kişinin erkek olması, 𝐵 olayı kişinin kazancının 30,000 dolardan az
olması olsun. Bu durumda,
𝐴 ∩ 𝐵 ∶ kişinin erkek olması ve kazancının 30,000 dolardan az olması,
𝐵ȁ𝐴 ∶ seçilen kişi erkek iken kazancının 30,000 dolardan az olması olur.
Tablodan erkeklerin yüzde 1.1 + 0.7 + 1.8 + 2.9 + 10.2 = 16.7 sinin geliri
30,000 dolardan azdır.
Bu durumda 𝑃 𝐵|𝐴 =16.7/100= 0.167 olur.

Aynı zamanda 𝑃(𝐴), yani kişinin erkek
olma olasılığını 0.6132 bulmuştuk. O halde seçilen kişinin hem erkek hem de
gelirinin 30,000 dolardan az olma olasılığı:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵|𝐴 = 0.167 × 0.6132 =≈ 0.102

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

Yukarıdaki tablo, bilgisayar mühendisliği bölümündeki 1 ve 2 öğretim
öğrencilerinin sınıflara göre dağılımını göstermektedir. Buna göre bölümden
rastgele seçilen bir öğrencinin:
i. I öğretim olma olasılığı nedir?
ii. I öğretim olduğu biliniyorsa sınıfının 3 ve daha yukarı olma olasılığı nedir?
iii. 4. sınıf olduğu biliniyorsa II öğretim olma olasılığı nedir?

çözüm.

i. 𝐴 olayı öğrencinin I. öğretim olma olayı olsun. Buna göre

𝑃 𝐴 =347/672≈ 0.52
ii. Öğrencinin sınıfının 3 ve daha yukarı olma olayı 𝐵 olsun. Öğrencinin I.
öğretim olduğu biliniyor. Şu halde biz 𝑃(𝐴|𝐵) olasılığını arıyoruz.
𝐴 ∩ 𝐵 olayı, öğrencinin hem I. öğretim olması hem de sınıfının 3 ve daha fazla
olması olayıdır. Bu durumdaki kişiler I. öğretimdeki 3 ve 4. sınıf olan kişilerdir.
Bu kişilerin toplam sayıları:

𝐴 ∩ 𝐵 = 94 + 102 = 196.

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃(𝐴)=(196/672)/(347/672)≈ 0.565

iii. 𝐴 olayı öğrencinin 4. sınıf olması,𝐵 olayı öğrencinin ikinci öğretim olması
olsun. Toplam 4. sınıf sayısı: 𝐴 = 102 + 99 = 201
𝐴 ∩ 𝐵 olayı, öğrencinin 4 sınıf ve ikinci öğretim olmasıdır: 𝐴 ∩ 𝐵 = 99
𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃(𝐴)=(99/672) /(201/672) ≈ 0.493

Çarpım kuralları ve Bağımsızlık

ör. Aralarında Barcelona, Real Madrid, Bayern Münih ve Liverpool olan 4 güçlü
takım ile zayıf olan dört takım şampıiyonlar liginde çeyrek final kalmıştır.
Çeyrek finallerde bu dört güçlü takımın hiçbirinin birbiriyle maç etmeme
olasılığı nedir?

Çözüm.

Dört güçlü takımın hiçbirinin birbiriyle maç etmemesi, bu dört takımın
herbirinin bir zayıf takım ile maç etmesi anlamına gelir.
𝐴1 olayı Barcelona’nın bir zayıf takımla maç etmesi,
𝐴2 olayı Real Madrid’in bir zayıf takımla maç etmesi,
𝐴3 olayı Bayern Münih’in bir zayıf takımla maç etmesi,
𝐴4 olayı Liverpool’un bir zayıf takımla maç etmesi olsun.
Biz bu dört olayın hepsinin olmasını istiyoruz.
Yani 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐴4 ‘un olmasını istiyoruz.
Aradığımız olayın olasılığı: 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐴4).

Genelleştirilmiş çarpım kuralından:

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ 𝐴4 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2ห𝐴1 𝑃(𝐴3ห𝐴1 ∩ 𝐴2)𝑃(𝐴4ห𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3)
𝑃 𝐴1 : 𝐴1 olayının olma olasılığı, yani Barcelona’nın zayıf bir takımla maç
etmesi olasılığı. Barcelona’nın maç edebileceği 4 zayıf takım vardır.
Barcelona’nın toplamda maç edebileceği kendi hariç 7 takım vardır.
O halde 𝑃 𝐴1 = 4/7

𝑃 𝐴2ห𝐴1 : Barcelona’nın bir zayıf takımla maç ettiği bilinirken, Real Madrid’in
başka bir zayıf takımla maç etmesi olasılığı. Bir zayıf takım Barcelona ile maç
ettiğinden geriye 3 zayıf takım kalmıştır. Real Madrid bu 3 takımın biriyle
oynayabilir. Barcelona ve maç ettiği zayıf takım; birde Real Madrid’in kendini
çıkardığımızda, Real Madrid ile maç edebilecek geriye 5 takım kalır.
O halde:𝑃 𝐴2ห𝐴1 =3

𝑃𝐴3Değişken Türleri (Ölçüm Seviyesine Göre) Diyelim ki havanın sıcaklığı bizim değişkenimiz. Bu sıcaklığı iki şekilde

1.kategorik olarak: çok soğuk, soğuk, serin, normal, ılık, sıcak, çok sıcak
2. sayısal olarak: – 38.5 𝑃(𝐴4, – 11 bilinirken Liverpool’un bir zayıf takımla maç etme olasılığı. 4 zayıf takımın , 0 Liverpool’un kendidir. O da çıkınca Liverpool’un maç yapabileceği tek takım , 5
𝑃𝐴4,46.912 𝐴1∩𝐴2∩𝐴3=11=1.,

Bağımsız Olaylar


Bazen, bir olayın olması yada olmaması diğerinin olmasını yada olmamasını hiç
etkilemez. Örneğin atılan bir paranın tura yada yazı gelmesi, atılan bir zarın
sonucunu değiştirmez. Yada, bir zarı iki defa atma deneyinde ilk zarın sonucu
ikinci zarın sonucunu etkilemez. Bu tür olaylara bağımsız olaylar diyeceğiz.

𝑃 𝐵|𝐴 , olasılığı 𝐴 olayı olduğunda 𝐵’nin olma olasılığı idi; ama 𝐴 ve 𝐵 olayları
bağımsız ise 𝐴’nın olması bilgisi 𝐵’nin olup olmaması hakkında bize bir bilgi
vermez. Şu halde 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐵 olur. Bu durumda, A ve B olaylarının birlikte
olmasının olasılığı, A’nın olma olasılığı ile B’nin olma olasılığının çarpımına eşit
olur.
Çarpım kuralında
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)
idi. A ve B bağımsız iken 𝑃 𝐵|𝐴 = 𝑃 𝐵 olduğundan, A ve B olayları bağımsız
iken
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝑃(𝐴)
olur.

Olasılık ve İstatistik konusunun bir önceki konusu için — Tıklayınız


Paylaşım , Takip İçin
5 1 vote
Article Rating

Bir Cevap Yazın

0 Yorum
Inline Feedbacks
View all comments
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x
HAYALİNDEKİ YAZILIM
%d blogcu bunu beğendi: